🛡️ ADRC 自抗扰控制与嵌入式实现

1 ADRC 动机与思想:把「不知道」当成扰动来估计

1.1 是什么:PID 的「误差导向」范式到底卡在哪

是什么:PID 的控制量完全由「设定值 − 输出值」这个误差驱动:u = Kp·e + Ki·∫e + Kd·de/dt。它不看对象内部发生了什么,只看「结果差多少」再事后补救。这套范式统治工业八十年,靠的是两条:不依赖模型、结构简单。但放在人形机器人关节上,它的三个短板被放大:

• 事后性:误差出现了才出力 —— 负载冲击先造成速度跌落,PID 再往回拉,「抗扰」永远是被动响应;
• 微分困境:对误差直接差分求微分,会把编码器/PWM 噪声放大大几倍到几十倍,所以电流环干脆不敢用 D(见 00-01 三环控制小节);
• 模型依赖的隐性成本:PID 参数只在「整定时的工况」下最优 —— 负载惯量一变、摩擦一变就得重调,机器人大变姿态时这个矛盾尤其尖锐。

为什么:问题的根源是「扰动不可见」。韩京清(中科院系统科学研究所,ADRC 创始人)的切入点是:与其给每种扰动单独建模,不如把所有「模型对不上 + 外部作用」统一打包成一个量,在线估计它,然后从控制量里减掉。这个打包后的量就叫总扰动:

• 内扰(模型内不确定性):参数漂移(惯量 J、电阻 R、电感 L 随温度变化)、非线性摩擦、齿槽转矩、谐波柔轮迟滞;
• 外扰(外部作用):负载突变、足端着地冲击、接触力、重力矩;
• 总扰动 f = 内扰 + 外扰 + 一切未建模动态,统一折算到输入通道(加速度端),量纲与「加速度」一致。

怎么做:把对象强制写成上式 —— 唯一要求知道的模型信息只有两个:阶次 n(关节位置/速度环通常是二阶)和输入增益 b₀ 的估计值。剩下所有复杂东西都塞进 f。这就是 ADRC「不依赖精确模型」的准确含义:不是不用模型,而是只用的部分少而粗(阶次 + b₀,误差 3 倍以内都能工作)。

面试怎么问:「ADRC 为什么说是不基于模型的?它到底需要知道什么?」——标准答案:需要对象的相对阶次和输入增益估计 b₀,其余(参数摄动、非线性、外扰)全部归入总扰动由 ESO 在线估计;这是它与自抗扰之前所有「先建模再设计」方法的本质区别。

1.2 核心思想:估计 + 补偿,ADRC 四件套各司其职

是什么:ADRC(Active Disturbance Rejection Control)= TD + ESO + 状态误差反馈 + 扰动补偿四件套。逻辑链只有三步:

1. 安排过渡过程(TD):目标指令先经跟踪微分器「柔化」,不再拿阶跃直接砸闭环 —— 消超调、防激励机械谐振,顺带得到无噪声放大的微分信号;
2. 估计总扰动(ESO):把 f 扩张成第 n+1 个状态,用输入 u 和测量 y 实时观测出 z₁…zₙ₊₁,其中 z₃(二阶对象)就是总扰动的估计;
3. 对消 + 反馈(补偿):控制量里减去 z₃/b₀,把对象实时「改造成」纯积分器链,再用 PD(或 NLSEF)控制这个被简化后的对象 —— 问题从「控制复杂不确定对象」降维成「控制教科书级积分器」。

面试怎么问:「画出 ADRC 的结构框图,并指出总扰动从哪进、从哪出。」—— 总扰动「进」在对象方程的加速度端(与 b₀u 同一通道),「出」在 ESO 的扩张状态 z₃,最终以 −z₃/b₀ 的形式汇入控制量。画不出 ESO 双输入(u、y)是常见扣分点。

2 TD 跟踪微分器与 ESO 扩张状态观测器:ADRC 的两大「信号器官」

2.1 TD 安排过渡过程:一次性解决超调与微分噪声放大

是什么:TD(Tracking Differentiator,跟踪微分器)是一个二阶动态环节,输入原始指令 v(k),输出两个信号:v₁ —— 平滑跟踪 v 的「过渡过程」,v₂ —— v₁ 的微分。为什么需要它:阶跃指令直接进闭环,误差瞬间达到最大值,积分项迅速饱和 → 超调;而想给 PID 加微分项,直接对测量差分,信噪比崩塌。TD 用「最速跟踪 + 微分在环内产生」同时解决这两个老问题 —— 这是韩京清对 PID「微分噪声放大」死结的正面回答。

怎么做(fhan 最速离散跟踪微分器):

直观理解:fhan 是「最速控制综合函数」—— 它回答「以加速度上限 r,最快多少步能把 x₁ 拉到 0」。把它接进上面两行迭代,得到的 v₁ 就是「在加速度受限下最快又最平滑地跟上 v 的轨迹」,v₂ 就是这条轨迹的速度,天然可用作前馈。

工程简化(重要):人形机器人整机控制器通常以 1kHz 下发「位置 + 速度 + 力矩前馈」三元组(q_des, dq_des, τ_ff),指令本身就是平滑轨迹、速度前馈现成 —— 此时关节侧 TD 可省略,直接令 v₁=q_des、v₂=dq_des(00-01 页同样结论)。TD 真正的用武之地是:指令来自阶跃型上位机、或需要从「又脏又跳」的指令里提取干净微分信号的场合。

面试怎么问:「TD 解决什么问题?r 和 h₀ 分别管什么?」——答「安排过渡过程消超调 + 无噪声放大的微分提取」;r 管快慢(等效加速度限幅),h₀ 管滤波(等效噪声采样窗),二者独立可调是 TD 优于「一阶惯性 + 差分」的地方。

2.2 ESO:把总扰动扩张为第 n+1 个状态

是什么:ESO(Extended State Observer,扩张状态观测器)是 ADRC 的心脏。普通状态观测器(见 04-17 状态观测器全解)只估计模型里已有的状态;ESO 的绝招是把「模型之外的一切」—— 总扰动 f —— 也当作一个状态 x₃ = f 扩张进来,让观测器把它连同 x₁ x₂ 一起估出来。对二阶对象(以关节位置环为例,x₁=y、x₂=ẏ、x₃=f):

为什么能收敛:第三行的 ḟ≈0 不是说扰动真的不变,而是「在观测器带宽对应的时标内近似不变」。对扩张系统构造观测器,用输出误差 e = z₁ − y 驱动三个状态的校正,就得到非线性三阶 ESO:

fal 函数与收敛性直觉:当 0 < α < 1 时,|e| 很小则 |e|^α 反而比 |e| 大(例如 e=0.01、α=0.5 时 |e|^α=0.1)——「小误差大增益、大误差小增益」:误差小时强拉快收敛,误差大时增益自动回落防超调,δ 线性段保证过零处增益有限不抖振。这套「幂次增益」与滑模观测器的 sigmoid 边界层、电机控制里的变结构思想一脉相承。收敛性的严格证明较难(韩京清用有限时间稳定性与时间尺度概念给直觉论证),但线性化后看:β 配置使特征多项式全负实部 + 扰动变化率有界 ⇒ 估计误差最终有界收敛;工程上更重要的是下一节的带宽法 —— 它把「β 怎么选」变成一个频率参数。

怎么做(读 ESO 的三个输出):z₁ = 位置估计(可直接替代测量做反馈,滤了噪声)、z₂ = 速度估计(比编码器差分干净,可省掉独立测速滤波)、z₃ = 总扰动估计(重力 + 摩擦 + 负载冲击的「合力」,既送去补偿,也可顺手做碰撞检测:|z₃| 突增即触碰)。观察 z₃ 波形是调 ESO 的第一手诊断量 —— 它应当平滑地跟随重力/摩擦的慢变化。

面试怎么问:「ESO 为什么能估计不知道的扰动?它对扰动做了什么假设?」——标准答案三层:①扩张状态——把 f 当第 n+1 个状态纳入观测器;②唯一假设是扰动「缓变」(ḟ≈0 或变化率有界),观测器带宽决定能跟踪多快的扰动;③收敛靠 β 增益配置使误差动态稳定, fal 的「小误差大增益」进一步加快小误差段收敛。

3 LADRC 线性化与带宽参数化:工程落地的关键一步

3.1 高志强带宽法:全部增益由 ωₒ 一个参数决定

是什么:非线性 ADRC 的 fal、fhan 里有一堆参数(α₁ α₂ α₃ δ β₁ β₂ β₃…),整定困难、理论分析也难。高志强(克利夫兰州立大学)在 ACC 2003 论文(资源卡 R2)里给出尺度变换 + 带宽参数化:把 ESO 全部增益用单一参数 —— 观测器带宽 ωₒ 表示,办法是把观测器特征多项式的所有极点统一配置在 −ωₒ:

为什么这么配:观测器误差动态的特征多项式就是 s³+β₁s²+β₂s+β₃(对三阶 ESO),把它对比 (s+ωₒ)³ 的展开,β 就全定了 —— 三重极点统一在 −ωₒ,单调无超调的收敛形态,物理意义就是「误差以 ωₒ 为时间尺度的指数速度被拉回」。同理控制器侧把 PD 的两个极点统一配在 −ω_c:k_p=ω_c²、k_d=2ω_c。于是整个二阶 LADRC 只剩三个待定参数:ωₒ、ω_c、b₀,且前两个都是频率量纲、可以直接对着「闭环带宽需求」和「采样率上限」拍板。

为什么工程都用 LADRC:

• 整定成本断崖式下降:非线性版十几个参数 → 线性版 3 个,且互不纠缠(ω_c 管响应、ωₒ 管估计、b₀ 管对消);
• 可分析、可仿真、可自动化:线性系统有频域工具,MathWorks 直接内置 ADRC 模块(资源卡 R13),整定可写进出厂流程;
• 性能损失小:大量对比研究表明线性版在绝大多数伺服场景追平非线性版;韩京清坚持的「非线性才最速」主要在大误差、强非线性段的极限性能上有意义(见 3.3)。

面试怎么问:「LADRC 的带宽参数化是怎么把多参数问题变成单参数的?」——答:把 ESO(和 PD)特征多项式按 (s+ωₒ)ⁿ/(s+ω_c)ⁿ 展开对比系数,β₁=3ωₒ、β₂=3ωₒ²、β₃=ωₒ³、k_p=ω_c²、k_d=2ω_c;ωₒ 定「估计多快」,ω_c 定「闭环多快」,经验 ωₒ≈(3~5)ω_c。

数值算例:给定电机参数算 ESO 增益与控制律(手推)

对象:某关节电机二阶模型 J·θ̈ = u − d(含负载/摩擦总扰动 d),折算到电机端的惯量 J = 0.002 kg·m²,则 b₀ = 1/J = 500(单位 1/(kg·m²),配转矩指令 u 时恰是 rad/s²/N·m 的换算)。取观测器带宽 ωₒ = 150 rad/s、控制器带宽 ω_c = 100 rad/s(经验 ωₒ ≈ (3~5)ω_c 的中段)。

三阶 ESO 增益(带宽法一步算完):

控制器 PD 增益:k_p = ω_c² = 100² = 10000,k_d = 2ω_c = 200。代一组数感受量纲:设位置误差 v₁−z₁ = 0.05 rad、估计速度 z₂ = 2 rad/s、负载扰动 d = 3 N·m(z₃ ≈ −d/J = −1500 rad/s²),则 u₀ = 10000×0.05 − 200×2 = 500 − 400 = 100 rad/s²(加速度指令),控制量 u = (u₀ − z₃)/b₀ = (100 − (−1500))/500 = 1600/500 = 3.2 N·m。拆开看:0.2 N·m 用于加速(u₀/b₀ = 100×0.002),3.0 N·m 用于顶住负载——扰动补偿项占了 94%,这就是 z₃/b₀ 在干活。

采样率校核:由 ωₒ ≤ f_s/10 得 f_s ≥ 10×150 = 1.5 kHz。对照 §12 分层表:速度/位置环通常跑 1~2 kHz——取 2 kHz 时高于最低要求 1.5 kHz,但余量仅 33%(f_s/ωₒ ≈ 13.3 倍,刚过 10 倍准则),环频一旦掉到 1.5 kHz 以下就得降 ωₒ;电流环 20 kHz 相比之下宽裕一个数量级,进一步说明 ESO 放在位置/速度层、电流层仍交给 PI 的分层是自洽的。若现场只剩 1 kHz,反解 ωₒ ≤ 628 rad/s,需把 ωₒ 降到 ~120 rad/s 并同步下调 ω_c。

3.2 线性控制律与扰动补偿:u = (u₀ − z₃)/b₀

是什么:LADRC 的控制律分两步 —— 先用估计状态做线性 PD(称作 LSEF,Linear State Error Feedback),再做扰动补偿:

怎么理解补偿这一步:对象真实满足 ÿ = f + b·u(真实增益 b)。代入 u=(u₀−z₃)/b₀ 得 ÿ = u₀ + (b/b₀)(f−z₃)·b₀/b₀… 把量纲捋直:ÿ = (b/b₀)·u₀ + [f − (b/b₀)·z₃]。当 b₀≈b 且 z₃≈f 时,ÿ≈u₀ —— 控制器面对的等效对象变成了干净的双积分器,PD 控制双积分器是教科书问题,这就是「ADRC 把复杂对象改造为积分器串联型」的含义。注意两点:①即使 b₀≠b,z₃ 也会把 (b/b₀−1)·u₀ 的部分一起「吸收」掉,这正是 ADRC 对 b₀ 失配鲁棒的来源;②u 的量纲跟随 b₀ 的定义(电压、电流指令或力矩),写代码前先统一。

面试怎么问:「z₃/b₀ 里的 b₀ 是干嘛的?去掉行不行?」——不行:z₃ 是加速度量纲的总扰动,要换算成「控制量」量纲才能在输入端对消,除以 b₀ 就是这个换算;b₀ 是 b 的估计,失配只会降低对消质量,不会破坏结构。

3.3 NLSEF:什么时候才真的需要「非线性」

是什么:NLSEF(非线性状态误差反馈)把线性 PD 换成 fal 组合:

与线性 PD 的差别:线性 PD 的增益恒定 —— 误差大时出力「不够狠」,误差小时又「推不动残差」;NLSEF 用幂次函数做变增益:小误差段(α<1)增益趋于无穷大级地放大,消除稳态残差又快又干净;大误差段增益相对收敛,防止猛出力导致超调。再加上「大误差段 α>1 加速合围」的组合策略,理论上比线性更接近时间最优。

怎么做(决策建议):先用线性版把系统跑通、拿到基线性能;只有当「小误差段爬行」「大误差段超调」两类问题同时出现、且线性版调不动时,才考虑把 LSEF 换成 NLSEF —— 并接受整定时间翻倍的代价。韩京清原著(资源卡 R1)对非线性机理讲得最透,可作为进阶阅读。

面试怎么问:「LADRC 已经线性了,韩京清的原始 ADRC 为什么坚持非线性?你选哪个?」——答出取舍即可:非线性版理论性能上限更高(最速性),线性版工程可控性更好;选型看「性能缺口是否存在 + 整定资源是否充裕」,工业界默认线性。

4 b₀ 的物理意义与整定:三个参数里最容易翻车的那个

4.1 b₀ 是什么:控制增益估计,失配的两种相反症状

是什么:b₀ 是对象方程 ÿ = f + b·u 中真实输入增益 b 的估计值 —— 「1 单位控制量能产生多少加速度」。位置/速度环里 b ≈ 1/J(J 为折算到该环输出端的转动惯量);电流环一阶模型里 b ≈ 1/L。它出现在两处:ESO 用它把「u 产生的那部分」从总变化里剥离(模型项),控制律用它把 z₃ 换算回控制量量纲(补偿项)。

为什么它决定性能:b₀ 不准时,ESO 与补偿同时「错」,但错的方式部分抵消 —— 所以 ADRC 对 b₀ 误差有 3~5 倍的容忍度(远好于增益调度),但超出后症状对称地出现:

面试怎么问:「b₀ 失配会失稳吗?怎么判断往哪个方向调?」——答:多数情况不直接失稳(z₃ 会吸收一部分失配),但性能退化;「振荡 → b₀ 偏小,迟钝 → b₀ 偏大」这组对称口诀必须答出来。判断技巧:比较 |u₀| 与 |z₃/b₀| 的量级 —— 若补偿项远大于反馈项,说明 b₀ 或扰动通道有问题。

4.2 b₀ 怎么估:从一次空载阶跃到在线自整定

怎么做(三条路,由易到难):

1. 惯量折算法(桌面估计):查电机转子惯量 J_r、减速比 i、负载折算 J_L,得 b₀ ≈ 1/(J_r + J_L/i²)(输出端系)。5 分钟出初值,误差可到 ±50%,但足够当扫参起点;
2. 空载阶跃拟合法(推荐,10 分钟):断开位置环,对速度环(或直接电压)施加已知小阶跃 u₀(额定值的 10~20%,避免饱和),由编码器测角加速度 ä:b₀ ≈ ä/u₀。多取几个幅值求平均,注意剔除摩擦主导的低速段数据;
3. 在线辨识/递推最小二乘(进阶):把 b 作为参数随运行数据递推更新,负载大范围变化(机械臂抓放)时值得做,代价是引入参数激励条件问题。

面试怎么问:「现场没有惯量数据,如何 10 分钟拿到可用的 b₀?」——答空载小信号阶跃 + 差分求加速度 + 线性回归,并补一句「量测端先做低通再差分,否则噪声把 ä 淹没」。

5 LADRC 完整整定流程:从 b₀ 到固化参数的六步

5.1 整定 step-flow:先内环后外环,ωₒ 从低到高扫

怎么做:多环系统(电流→速度→位置)遵循「先内环后外环」—— 内环整定完成后,对外环近似为理想力矩源,外环才好整。单环之内按下面流程走:

ωₒ 上限为什么是「典型 1/5~1/10 采样率」:ωₒ 越高,ESO 对突扰动的跟踪越快,但显式欧拉离散的稳定域有限(第 6 节推导),且 β₂=3ωₒ²、β₃=ωₒ³ 会把编码器量化噪声放大进 z₂ z₃。工程折中:先扫到 z₃ 开始「起毛」,再退一档 —— 这比任何公式都可靠。

面试怎么问:「给你一个新关节,LADRC 三参数你怎么下手?顺序能乱吗?」——答 b₀ 先行(没它补偿方向都不知道)、ω_c 按需求、ωₒ 最后且必须 ≥3ω_c;顺序乱调会互相掩盖症状。

5.2 与 PID 对照:一个 PI 电流环改造成一阶 LADRC 的完整替换

为什么用电流环举例:电流环对象是一阶(R-L 电路),对应一阶 LADRC(二阶 ESO),代码最短、收益直观(反电动势 Ke·ω 就是现成的「总扰动」—— ESO 会把它估出来并补偿,等效于免费的自适应反电动势前馈)。对象方程:

一阶 LADRC 完整方程(二阶 ESO,β₁=2ωₒ、β₂=ωₒ²):

面试怎么问:「把 PI 环换成 LADRC,最小改动是什么?哪些必须保持不变?」——答:只替换「误差→控制量」的映射函数,执行周期、输出限幅、保护逻辑、通信接口全部保持;必须保留原方案基线与回滚开关。

6 离散实现与采样率:ωₒ 上限、浮点/定点与耗时量级

6.1 欧拉离散与 ωₒ ≤ fs/10 的由来

是什么:MCU 上跑的是差分方程。对连续 ESO 用前向欧拉(显式)离散最简单 —— 每周期把导数乘以 Ts 直接累加:

为什么 ωₒ 有上限:显式欧拉把连续极点 −ωₒ 映射到 z 平面的 1−ωₒTs,落在单位圆内才稳定,粗略要求 ωₒ·Ts ≲ 1;再考虑三重极点的稳定裕度收紧 5~10 倍,就得到工程经验式:

怎么做(想突破上限怎么办):①改离散方法 —— 后向欧拉/Tustin(双线性)把稳定域扩大,Tustin 下 ωₒ 上限可放宽到 fs/3 左右,代价是每周期多做几次乘加;②精确离散 —— 观测器矩阵是 3×3,可用查表或上电时算一次矩阵指数;③降采样需求 —— 高速环(20kHz)本来就给了 ωₒ 巨大空间,「ωₒ 不够用」通常只发生在拿 1kHz 位置环硬扛大冲击的场合,此时应把 ADRC 下沉到速度环(2kHz+)。

面试怎么问:「ωₒ 能配到任意高吗?上限由什么决定?」——三层:①采样与离散(ωₒ≤fs/10,显式欧拉);②噪声(β₃=ωₒ³ 放大编码器量化噪声);③执行器(把噪声顶到电流里成啸叫)。答出任意两层即合格。

6.2 浮点、定点与 STM32 上的耗时量级

是什么:一次 LADRC 计算的代价 ≈ ESO 的乘加次数 + 补偿除法。二阶 LADRC(三阶 ESO)约 30~40 次 FMA + 1 次除法;一阶约一半。

• 带 FPU 的内核(M3 除外的 M4/M7/G4/H7):直接 float。Cortex-M4F 的 FPU 一次 float 乘加 1 周期,一次 ladrc2_calc() 实测量级 1~2 μs @170MHz、一阶 0.5~1 μs —— 在 20kHz 电流环(50μs 周期)里占比 <4%,1kHz 位置环更是零头。20 个关节全上二阶 LADRC 也吃不满 1kHz 任务的预算;
• 无 FPU 内核(M0/M3):float 走软件库,单次乘法上百周期,LADRC 单次可能拖到几十 μs —— 此时二选一:降采样率(≤1kHz 的环还能用 float),或改 Q15/Q31 定点;
• 定点化要点:β₂=3ωₒ²、β₃=ωₒ³ 数值大且分散(ωₒ=600 时 β₃≈2×10⁸),必须先归一化再定标:把 e 归一到 ±1、增益按 2 的幂定标移位实现,乘加后检查饱和;e 的线性段 δ 附近增益 1/δ^(1−α) 很大,Q15 精度不足时先炸的就是这里。

面试怎么问:「STM32G431 跑 20kHz 电流环,能不能塞进一阶 LADRC?算一笔账。」——答:G431 带 FPU,一阶 LADRC 约 0.5~1μs,加 FOC 本体约 10~15μs,20kHz 周期 50μs,占比 <30%,可以;若换 M0 就要定点化或降环频。

7 完整 C 实现:一阶/二阶 LADRC 教学精简版(~80 行)

7.1 结构体 + init + calc 完整代码与站内版本对照

是什么:下面这份代码包含一阶(LADRC1)与二阶(LADRC2)两套结构体和计算函数,前向欧拉离散、参数运行时可改。与 00-01 3D 解剖页的 ADRC_Init/ADRC_Calc 单文件宏定义版相比:那边是「二阶专用、宏参数、零依赖」,适合直接抄进工程演示;本版是「一阶+二阶通用、结构体参数、含输出限幅与上一拍 u 缓存」,适合做在线整定上位机或多关节复用 —— 两版算法内核完全一致,可互移植。

/* ===================================================================
 * ladrc.c —— 一阶/二阶 LADRC 教学精简版(前向欧拉离散, float)
 * 依赖: 无(纯 float 运算) | 移植: 复制即用, 无动态内存
 * 带宽约束: w_o <= fs/10;  经验: w_o ≈ (3~5)*w_c
 * ================================================================ */
typedef struct {                 /* ---- 一阶: 对象 dy = f + b0*u ---- */
    float Ts, w_o, w_c, b0;      /* 周期 / 观测器带宽 / 控制带宽 / 增益 */
    float kp, inv_b0;            /* kp = w_c;  预先取倒数避免运行期除法 */
    float z1, z2;                /* z1: 输出估计   z2: 总扰动估计        */
    float u;                     /* 上一拍输出(ESO 更新要用)             */
    float u_max;                 /* 输出限幅                            */
} ladrc1_t;

typedef struct {                 /* ---- 二阶: 对象 ddy = f + b0*u ---- */
    float Ts, w_o, w_c, b0;
    float kp, kd, inv_b0;        /* kp = w_c^2;  kd = 2*w_c             */
    float z1, z2, z3;            /* z1: 位置  z2: 速度  z3: 总扰动估计   */
    float u;
    float u_max;
} ladrc2_t;

void ladrc1_init(ladrc1_t *a, float Ts, float w_o, float w_c,
                 float b0, float u_max)
{
    a->Ts = Ts;  a->w_o = w_o;  a->w_c = w_c;  a->b0 = b0;
    a->u_max = u_max;
    a->kp     = w_c;             /* 一阶: 极点统一配在 -w_c            */
    a->inv_b0 = 1.0f / b0;
    a->z1 = 0.0f;  a->z2 = 0.0f;  a->u = 0.0f;
}

void ladrc2_init(ladrc2_t *a, float Ts, float w_o, float w_c,
                 float b0, float u_max)
{
    a->Ts = Ts;  a->w_o = w_o;  a->w_c = w_c;  a->b0 = b0;
    a->u_max = u_max;
    a->kp     = w_c * w_c;       /* 二阶: (s+w_c)^2 = s^2 + 2w_c s + w_c^2 */
    a->kd     = 2.0f * w_c;
    a->inv_b0 = 1.0f / b0;
    a->z1 = 0.0f;  a->z2 = 0.0f;  a->z3 = 0.0f;  a->u = 0.0f;
}

/* -------- 一阶 LADRC: 每周期调用一次, v=目标, y=测量(已滤波) -------- */
float ladrc1_calc(ladrc1_t *a, float v, float y)
{
    float b1 = 2.0f * a->w_o;            /* 极点统一在 -w_o:            */
    float b2 = a->w_o * a->w_o;          /* (s+w_o)^2 = s^2+2w_o s+w_o^2 */
    float e, u0;

    e = a->z1 - y;                       /* 输出误差                    */
    a->z1 += a->Ts * (a->z2 - b1 * e + a->b0 * a->u);   /* ESO 欧拉更新  */
    a->z2 += a->Ts * (-b2 * e);
    u0 = a->kp * (v - a->z1);            /* 状态误差反馈(kp=w_c)        */
    a->u = (u0 - a->z2) * a->inv_b0;     /* 扰动补偿 u=(u0-z2)/b0       */
    if (a->u >  a->u_max) a->u =  a->u_max;   /* 限幅防饱和              */
    if (a->u < -a->u_max) a->u = -a->u_max;
    return a->u;
}

/* -------- 二阶 LADRC: v1=目标, v2=目标微分(前馈, 可为0) ------------ */
float ladrc2_calc(ladrc2_t *a, float v1, float v2, float y)
{
    float c1 = 3.0f * a->w_o;            /* 极点统一在 -w_o:            */
    float c2 = 3.0f * a->w_o * a->w_o;   /* (s+w_o)^3 展开系数          */
    float c3 = a->w_o * a->w_o * a->w_o;
    float e, u0;

    e = a->z1 - y;
    a->z1 += a->Ts * (a->z2 - c1 * e);
    a->z2 += a->Ts * (a->z3 - c2 * e + a->b0 * a->u);
    a->z3 += a->Ts * (-c3 * e);
    u0 = a->kp * (v1 - a->z1) + a->kd * (v2 - a->z2);
    a->u = (u0 - a->z3) * a->inv_b0;
    if (a->u >  a->u_max) a->u =  a->u_max;
    if (a->u < -a->u_max) a->u = -a->u_max;
    return a->u;
}

/* -------- 用法示例: 1kHz 位置环(整机下发 q_des/dq_des/tau_ff) ------ */
/* static ladrc2_t g_pos;                                            */
/* void pos_init(void){ ladrc2_init(&g_pos, 0.001f, 240.0f,          */
/*                               60.0f, 8.0f, 20.0f); }              */
/* void pos_1kHz(float q_des,float dq_des,float q)                   */
/* {  float iq = ladrc2_calc(&g_pos, q_des, dq_des, q);              */
/*    motor_set_iq(iq);      输出送电流环力矩指令  }                 */

代码四个细节,面试常被追问:

• inv_b0 预倒数:除法换乘法,M4F 上省 ~14 周期,定点化后更是必须;
• u 缓存(z₂/z₃ 更新用上一拍 u):ESO 是因果系统 —— 本拍 u 还没算出来时,只能用上一拍值;顺序写反成「先算 u 再更新 ESO」在高 ωₒ 下引入一拍环路延迟,可能临界稳定;
• 限幅后回写 a->u:ESO 必须知道真实执行的控制量(限幅后的),否则饱和期间 ESO 拿着「虚开的 u」估出错误的 z₃,退饱和瞬间反冲 —— 这是抗饱和的关键一行;
• v2 前馈入口:二阶版留了目标微分参数,整机下发 dq_des 时直接接入,不用就传 0(等价于只用 v₁)。

面试怎么问:「你的 LADRC 代码怎么处理输出饱和?」——答限幅三件套:控制量限幅、限幅后的 u 回写进 ESO(而不是裸 u₀−z₃)、必要时对 z₃ 补偿项也做权重衰减;只答「clamp 输出」是不完整的。

7.2 float 与 Q15 定点的选择建议

开源实现可对照阅读:GitHub 上的 JcZou/ADRC_Lib(float 版 C 库)与 simorxb/ADRC-Pendulum-C(二阶 ADRC 摆杆示例,含 Python 绘图),见资源卡 R11/R12。

8 抗扰性能验证:突加负载曲线怎么读,PI vs ADRC 怎么选

8.1 突加负载扰动仿真/实测曲线的四步读法

怎么做:抗扰实验的标准做法:系统稳定跟踪某一中等幅值指令(速度环或位置环),在 t₀ 时刻突加/突卸负载(对关节即撞块、挂重物、或电流环里注入反向阶跃),记录输出响应。读曲线四步:

1. 量跌落深度 Δ:扰动瞬间输出偏离稳态的最大幅度 —— 反映 ESO 估出扰动并补偿之前「扛」了多久,主要由 ωₒ 决定(ωₒ 高则浅);
2. 量恢复时间 tr:从 t₀ 到回到 ±2% 稳态带的时间 —— 反映补偿之后 PD 拉回的速度,主要由 ω_c 决定;
3. 看恢复过程形态:单调爬回 = 健康;来回振荡 = ω_c 过高或 b₀ 偏小;爬一半停住(残差)= 补偿不足,查 b₀ 或 z₃ 是否被限幅压住;
4. 对照基线:同一工况跑原 PI,两条曲线叠一起 —— 没有基线的「ADRC 变好了」不可信。

面试怎么问:「ADRC 抗扰好,好在这条曲线的哪一段?为什么?」——答:好在扰动后的跌落与恢复段。PI 要等误差积分起来才反击,ADRC 的 ESO 从 u、y 的不一致里「抢先」估出扰动并前馈对消,所以跌落浅、恢复快;阶跃跟踪段两者可以调到接近。

8.2 PI vs ADRC 全面对比表:什么时候 ADRC 不值得上

什么时候 ADRC 不值得(诚实清单):

• 测量噪声大且不可滤:ESO 的 z₂ 是微分本质,噪声先于扰动毁掉性能;滤波又吃相位裕度 —— 编码器纹波大的系统先修传感器,再谈 ADRC;
• 纯时滞大的对象:ESO 模型不含死区时间,时滞占比大(如长管道温控)时估计总是「慢半拍」,此时 Smith 预估或模型预测更对症(见 04-16);
• 算力弱、环频高:M0 级 MCU 上的 20kHz 电流环,软浮点 + 定点化成本 > 收益 —— 电流环对象模型精确,PI+前馈本就够好(00-01 页同结论);
• 模型准、工况恒定:一台永不换负载的测试台架,PI 调到最优后 ADRC 没有增量价值 —— ADRC 买的是「不确定性保险」,没不确定性就别付保费。

面试怎么问:「ADRC 是不是全面优于 PID?什么时候你会拒绝用 ADRC?」——这是压力题,考察对适用边界的诚实:答出噪声、大时滞、算力三条拒绝理由,比背十条优点加分得多。

9 失效模式与排查:从症状反推参数

怎么做:ADRC 调试 90% 的问题落在「ωₒ、b₀、噪声」三处。把症状 → 原因 → 处理做成查表,现场照单抓药:

测量噪声预处理三原则(上 ADRC 之前先做):①源头 —— 编码器线数/细分、采样同步(在 PWM 中央对齐点采电流),比任何滤波都值钱;②前置滤波 —— 给 y 过一个截止频率 ≈ 5ωₒ 的低通,滤波器本身相位滞后要计入预算;③留诊断口 —— z₁ z₂ z₃ 与 u 全部走 DMA 上位机画曲线,盲调 LADRC 等于蒙眼开环。

面试怎么问:「现场 LADRC 电机啸叫,你按什么顺序查?」——标准顺序:①确认啸叫频率(开关频率=电气问题;几十~几百 Hz=控制环)②降 ωₒ 观察(消失→观测器噪声/稳定域问题)③看 z₃ 毛刺(毛刺大→编码器/滤波问题)④查 b₀ 方向(振荡→偏小)⑤都无效→回滚 PI 基线,逐项排除。

10 业界应用与高频考问:关节电机里的 ADRC 现状

10.1 宇树 / 优必选 / 智元的关节控制里,ADRC 处在什么位置

是什么:主流整机厂目前普遍采用「三环 PID 底座 + 选择性 ADRC 增强 + 上层 MPC/WBC」的混合架构(即 04-09 页定义的变体 C),而非「全环 ADRC」:

• 宇树 / 优必选 / 智元(公开资料口径):关节底层以电流 PI + 速度/位置 PD(阻抗形式)为主,力矩前馈由上层 MPC/WBC 下发;ADRC/扰动观测器思想用于抗扰增强与碰撞检测,分布式关节架构下即使主控断连,关节本地控制器也能维持支撑(04-09 页「分布式智能关节」条目);
• 学术/高端实验平台:「电流一阶 + 速度二阶 + 位置三阶」全 ADRC(变体 A)或双环 ADRC(变体 B)常见于 PMSM 伺服与关节模组研究 —— 东南大学「改进 ADRC 提升机器人关节模组精度」、哈工大 PMSM 弱磁 ADRC 等工作持续发表;
• 工具链现状:TI C2000 提供电机 ADRC 参考实现,MathWorks Simulink Control Design 内置 ADRC 模块并支持代码生成到 STM32/TI(资源卡 R13/R14),落地门槛已大幅降低。

完整的「三环 PID → 三环 ADRC」工程变体表与五阶段升级路线,直接见 04-23 通信与控制算法升级路线页(不在此重复);未来 3~5 年的判断是「底层 ADRC 化 + 上层 MPC/RL 化」的混合架构,关节 MCU 只需做好「接指令 + 本地 ADRC 执行」。

面试怎么问:「宇树的关节用的是 ADRC 吗?为什么大厂不全部上 ADRC?」——答混合架构现状 + 三条工程理由:①PID 三环已满足大部分指标,只补短板性价比高;②全 ADRC 调试与维护成本高,量产要为「产线工人能调」负责;③上层 MPC/RL 前馈已消化大部分可建模扰动,底层只需处理残余。

10.2 面试高频四连问:标准答题框架

更多真题与逐题解析见 06-11 保研复试面试题库的 adrc 学科 8 题(含「b₀ 偏小会怎样」等变形题)。

11 本节自测

12 参考来源与延伸资源

以下资源均经联网核实可达(2026-09)。⭐ 标注为强烈推荐:R1 是理论原著,R2 是带宽法原始论文,R9 是高志强本人 12 集入门讲座。